fractals指标详解_fractals指标妙用

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虎跳峡龙蟠右岸土石混合体粒度分形特征研究

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       徐文杰 胡瑞林

       （中国科学院地质与地球物理研究所工程地质力学重点实验室 北京 100029）

       摘要 应用分维理论对虎跳峡龙蟠右岸分布的土石混合体粒度分布的分维规律进行了研究分析，建立了平均粒径与相应的分维数之间的定量关系模型。通过研究表明，土石混合体具有良好的统计自相似性，由于其本身为级配不良土，在分维曲线上表现为双重分形分布，这种特殊的分维分布与土石混合体的成因及形成过程有关。

       关键词 土石混合体 分形 粒度分析 平均粒径

       土石混合体一般是由作为骨料的碎石或者块石和作为充填成分的粘土或砂土组成的一种特殊的工程地质体（图1）。其成因一般较为复杂，主要有坡积成因、崩积成因、冲洪积成因、冰积成因及人工堆积等，具有物质成分复杂、结构分布极其不规则、具地域性等特性，力学性质介于土与岩体之间。土石混合体是一种典型的粒状体，其力学性质和工程性状与其结构特性密切相关，土石混合体的结构特性从某种程度上决定了其力学性质和工程特性。但是由于土石混合体的成因决定了其结构具有高度的非线性特征，这就给我们研究其结构特征带来了很大的困难。

       图1 虎跳峡龙蟠右岸土石混合体

       近年来，突变理论、混沌理论、分形几何等与非线性复杂现象有关的新理论、新观点、新方法已不同程度地渗入到岩土力学的研究领域。尤其是分形几何（Fractal Geometry）理论自20世纪80年代形成以来，在岩土力学领域得到了广泛的应用，使得过去我们认为难以解释或难以描述的问题的解决变成可能。80年代末，分形方法被引入到土的结构研究中，国内外的许多学者对此进行了较为深入的探讨和研究，包括 E.Perfect［1］，V.Rasiab［2］，D.L.Turcotte［3］，及国内的刘松玉［4］、胡瑞林［5］、徐永福［6］等。所有的这些理论和经验，为我们在土石混合体的结构研究方面开辟了一条新的途径。

       本文应用分形几何理论，对虎跳峡龙蟠右岸分布的土石混合体的粒度成分进行了分维分析，取得了一些有益的结论。

       1 土石混合体的基本粒度构成

       据勘查资料，龙蟠右岸表层土石混合体的分布厚度为5.0～40.0m不等，碎石粒径1～5cm居多，其碎石骨料主要由砂岩组成，少量为板岩风化碎屑，而且表面极其粗糙、菱角分明、形状不规则（图1）；填充料为粘土，含量甚少。研究区土石混合体的成因主要为坡积和冰积。

       为了研究的需要，我们选定位于虎跳峡水电勘查工程龙蟠1#平硐附近的土石混合体作为本次试验研究的采样场地，其高程约为1892.0m。在试验过程中，共选择了7个取样点，其位置分布位于龙蟠右岸变形体范围之内（图2），各试验点的筛分取样质量见表1。对这些样品我们进行了现场粒度筛分试样，得到了各粒组的质量百分含量（表2）。

       图2 粒度分析点布置示意图

       表1 各试验点的取样质量

       表2 各试样的粒度分形分析结果

       注：表中r代表颗粒粒径，所有颗粒粒径单位均为cm。

       2 土石混合体粒度分维计算模型

       分形几何是一门新的数学分支，它主要是用来描述自然界的不规则以及杂乱无章的现象和行为。目前应用较多的是线性分形，即具有自相似性的分形。所谓自相似性是指局部是整体成比例缩小的性质，定量描述这种自相似性的参数是分维。但是自然界的分形不像理论分形那么纯粹和“干净”，存在着标度区，研究对象是否为分形的区别准则是无标度性的［4］。

       自法国数学家Mandelbrot提出分形理论以来，人们对地质现象的分形性质的研究与日俱增。土体的粒度分布特征便是一种被广泛研究的地质现象。如果我们把研究的土体看作一个系统，显然这是一个开放的自组织系统，所谓自组织是在没有外交特定的干预下系统所获得的空间的、时间的或功能的结构。这样的系统存在着对其演化起主导作用的自由度，其大小表征了系统的有序程度。粒度分布实质上描述的是这一系统物质组成的空间结构（分形结构），由于分维大小与土体演化环境、力学性质密切相关，一次可以把分维作为描述该系统自组织程度的一个参数——序参量［4］。土石混合体属于土体这个自组织系统的整个演化过程中的一个高级演化阶段，用分维来描述其粒度分布对于土石混合体的结构研究具有重要的意义。

       根据分形理论，设用孔径为r的筛子来筛分试验区的土石混合体，粒径≤r的颗粒数目为N（r），它与粒径r满足下列关系：

       N（r）∝ r-D （1）

       式中：D为土石混合体颗粒分布的分维数。

       由于土石混合体的粒度分析过程中，样本量大，直接计算颗粒的数目相当困难，甚至是不可能的。为了实用上的方便，必须对（1）式加以改进。

       对（1）式求导，可得

       dN（r）∝ r-D-1dr （2）

       在成因类型相同且分布在同一研究区域内的地质体，颗粒密度可以认为是不变的。在这种情况下，颗粒的质量与其粒径的3次方成正比，即满足如下关系式：

       dM（r）∝ r3dN（r） （3）

       式中：M（r）为粒径≤r的颗粒总质量。

       将（3）式代入（2）式得

       dM（r）∝ r2-Ddr （4）

       对（4）式进行积分得到

       M（r）∝ r3-D （5）

       由于粒径≤r的颗粒的质量累计百分含量P（r）与M（r）成正比关系，即P（r）∝M（r），代入（5）式得

       P（r）∝ r3-D （6）

       因此，根据土石混合体的颗粒分布累计曲线，作出P（r）～r在双对数坐标下的曲线图形，求出无标度区的直线部分的斜率 n，即可方便地求出土石混合体粒度分布的分维数：

       D＝ 3 - n （7）

       3 土石混合体粒度分形的数据处理

       根据现场各试样的颗粒筛分结果，求出各个粒组对应的质量百分含量，累积即可得小于粒径r的颗粒的质量累计百分含量P（r）。根据所求得的P（r）及相应的r我们就可以对研究区的土石混合体进行分维分析。根据计算结果我们得到了相应各试样的分维值D和回归相关系数R（见表2），及各试样的颗粒分维分布及颗粒含量累积曲线（图3）。

       图3 各试样的颗粒分形分布及颗粒含量累积曲线

       从表2的分形分析结构及粒度分形曲线上可以看出，尽管试验区土石混合体的颗粒粒径尺寸悬殊达2～160mm之多。但通过将各试样的粒径尺度划分为两个范围即：r≤20mm和r＞20mm两段，然后在各量测尺度范围内进行分维计算分析，结果发现在各量测尺度内各个试样的lgP（r）和lgr之间存在很好的线性相关性，回归系数R都在0.97 以上，说明研究区的土石混合体粒度分布具有良好的分形结构，在统计意义上满足自相似规律。

       4 土石混合体粒度分形特征分析

       4.1 研究区土石混合体的粒度分维曲线特征

       从研究区各试样的粒度分维分布曲线可以看出，该区的土石混合体的颗粒分布具有2个维数，即为二重分维分布。这与土石混合体的粒径分布极其不均匀有关，如本区的土石混合体Cu达到50而Cc大于5，属于级配不良土。

       从分形分布曲线上还可以看出，虽然各个试样均具有二重分维特征，但对每个研究试样来说这两个分维量测尺度均被r＝20mm所分割。形成了r≤20mm所对应的包含砂粒、粉粒及粘粒的“细粒”区和r＞20mm所对应的包含碎石及块石的“粗粒”区两个分维空间，每个分维空间分别对应不同的维数D1和D2，且满足D1＜D2。

       土石混合体粒度分维呈现的这种二重分维乃至多重分维现象，应该从其各粒度分维空间成因来解释。研究区分布的土石混合体主要是坡积或冰积成因的，由于其搬运距离短，其物源多为粒度极其不均匀、分选性很差的块石等组成，这些物质构成了现在的土石混合体的骨架——“粗粒”；而在数万年的风化及地下水流的冲刷、搬运等作用下，部分大颗粒被分解，形成土石混合体的充填成分——“细粒”。由于成因上的差别，使得这些“细粒”相对于作为骨架的“粗粒”分选性较好，在粒度分维曲线上表现为分段现象（多重分维现象），而相应的分维数则表现为前面所述的D1＜D2。

       从图3中可以看出，D1和D2差值的绝对值（在图中表现为两回归拟和直线的夹角）的大小与其对应的颗粒累积曲线有关，绝对值越小（即两直线的夹角越小）其对应的累积曲线就越平缓，土石混合体的分选性就越差，级配相对越好。当D1和D2趋于相等时，对应于级配良好土。

       4.2 研究区土石混合体的粒度分维特征

       从试验点布置图我们可以看出，整个试验场地大致可以分为3个试验子区，即：子区一，包括1#，3#，4#试验点；子区二，包括2#，5#试验点；子区三，包括6#，7#试验点。分析表2可以看出，在各个子区内各试验点的分维数相差不大，而各子区之间试验点的分维数相差相对较大。如“子区三”的6#，7#试验点的D1分别为2.39和2.34，D2为2.77和2.71。这与土石混合体在形成过程中受到的各种条件（如地形、地貌等）因素的影响造成其分布极其不均匀有关。例如在现场踏勘过程中可以看到，在子区二即虎跳峡龙蟠1#勘探平硐洞口位置，有两块巨砾将其与周围的子区一和子区三分开，造成了其分维数上的差别。但是从整个试验场地来看，其分维数分布在D1＝2.34～2.57及D2＝2.67～2.91区域。所有这些，从另一个侧面反映了土石混合体这种特殊的地质体在空间上分布的极其不均匀性，但同一成因类型或者同一成因类型中的某一部位（如研究区位于龙蟠右岸变形体的下部）的粒度分维数近似或者相等，这给我们对土石混合体的区划提供了定量指标。

       4.3 平均粒径与土石混合体的粒度维数的关系

       对于不同的筛分试样，同一个P（r）可能对应于不同的r值及不同的分维数D。现在我们来分析一下当P（r）取某一值时，对于不同筛分试样的r与分维数D之间的对应关系。

       由（6）式可有

       P（r）＝ Kr3-D＋ C （8）

       式中：K、C为常数。

       对（8）式两边取对数有

       土石混合体

       据（9）式我们可以求得其平均粒径（即P（d50）＝50时的粒径d50）与分维数D满足下列关系：

       土石混合体

       根据图3我们可以得到试验区各个试样的d50及其对应的维数D（表3），然后在半对数-分数坐标中绘制 曲线（图4）。对数据进行回归分析，可得到d50与D之

       间的关系（11）式，相应的回归相关系数R＝0.9337，该关系式很好地描述了土石混合体的平均粒径与对应维数之间的定量关系。

       土石混合体

       表3 各试样的平均粒径及对应分维数

       图4 平均粒径与对应维数之间的关系曲线

       从（11）式可以看出，试样的分维数在某种程度上反映了土石混合体平均粒径的大小，随着平均粒径的增大其具有降低的趋势，可以作为描述土石混合体粗细程度的一个指标。

       5 结论

       （1）在各种内外动力作用下破坏形成的碎石块体，经过搬运沉积，再经过数万年的风化、填充作用，形成了今天的各种各样的土石混合体。虽然这种特殊的地质体成因复杂多样，但是其粒度分布仍然具有良好的统计自相似性。分维数可以用来作为土石混合体区划的定量参数，为进一步研究土石混合体的成因、分布等具有重要的意义。

       （2）土石混合体属于级配不良土，其粒径分布极其不均匀，但粒径分布具有多重分维特性。本研究区的土石混合体具有二重分维结构（对应两个分形维数D1和D2），这与土石混合体中“粗粒”和“细粒”的成因类型有关。D1和D2之差的绝对值反映了土石混合体颗粒累积曲线的平缓程度及其分选性好坏。

       （3）分维数的大小在某种程度上反映了土石混合体的平均粒径的大小，通过将平均粒径d50与其对应的维数D进行回归，其研究结果表明lgd50和 具有很好的线性关系。

       参考文献

       ［1］ Perfect E，Kay B D.Fractal theory applied to soil aggregation.Soil Sci.Soc.Am.，1991，J.55，1552～1558

       ［2］ Rasiah V，Kay B D，Perfect E.New mass-based model for estimating fractal dimensions of soil aggregates.Soil Sci.Soc.Am.，1993，57，891～895

       ［3］ Turcotte D L.Fractals and fragmentation.Geophys.Res.，1986，91（B2），1921～1926

       ［4］刘松玉，方磊，陈浩东.论我国特殊土粒度分布的分形结构.岩土工程学报，1993，15（1）：23～30

       ［5］胡瑞林，李向全等.分形理论在黄土湿陷性微结构效应研究中的应用.非线性动力学学报，1996，3（4）：360～366

       ［6］徐永福，刘斯宏，董平.粒状土体的结构模型.岩土力学，2001，22（4）：366～372

       ［7］柏春广，王建.一种新的粒度指标：沉积物粒度分维值及其环境意义.沉积学报，2003，21（2）：234～239

       ［8］谢和平.分形——岩石力学导论.北京：科学出版社，2005

       ［9］陈颙.分形几何.北京：地震出版社，1998

       ［10］徐文杰，胡瑞林等.虎跳峡龙蟠右岸土石混合体野外试验研究.岩石力学与工程学报，2006，25（6）：1270～1277

       ［11］殷跃平，张加桂.三峡库区巫山移民新城址松散堆积体成因机制研究.工程地质学报，2000，8（3）：265～271

       ［12］ Oleschko K，Figueroa B S，Miranda M E etc.Mass fractal dimensions and some selected physical properties of contrasting soils and sediments of Mexico.Soil ＆ Tillage Research 2000，55：43～61

       ［13］ James P Hyslip，Luis E Vallejo.Fractal analysis of the roughness and size distribution of granular materials.Engineering Geology，1997，48：231～244

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